Nama : Rezki Apriyani
Kelas : 1PA04
Npm : 15510831
Matematika dasar dan iad
Struktur atom
Struktur atom merupakan satuan dasar materi yang terdiri dari inti atom beserta awan elektron bermuatan negatif yang mengelilinginya. Inti atom mengandung campuran proton yang bermuatan positif dan neutron yang bermuatan netral (terkecuali pada Hidrogen-1 yang tidak memiliki neutron). Elektron-elektron pada sebuah atom terikat pada inti atom oleh gaya elektromagnetik. Demikian pula sekumpulan atom dapat berikatan satu sama lainnya membentuk sebuah molekul. Atom yang mengandung jumlah proton dan elektron yang sama bersifat netral, sedangkan yang mengandung jumlah proton dan elektron yang berbeda bersifat positif atau negatif dan merupakan ion. Atom dikelompokkan berdasarkan jumlah proton dan neutron pada inti atom tersebut. Jumlah proton pada atom menentukan unsur kimia atom tersebut, dan jumlah neutron menentukan isotop unsur tersebut.
Istilah atom berasal dari Bahasa Yunani, yang berarti tidak dapat dipotong ataupun sesuatu yang tidak dapat dibagi-bagi lagi. Konsep atom sebagai komponen yang tak dapat dibagi-bagi lagi pertama kali diajukan oleh para filsuf India dan Yunani. Pada abad ke-17 dan ke-18, para kimiawan meletakkan dasar-dasar pemikiran ini dengan menunjukkan bahwa zat-zat tertentu tidak dapat dibagi-bagi lebih jauh lagi menggunakan metode-metode kimia. Selama akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, para fisikawan berhasil menemukan struktur dan komponen-komponen subatom di dalam atom, membuktikan bahwa 'atom' tidaklah tak dapat dibagi-bagi lagi. Prinsip-prinsip mekanika kuantum yang digunakan para fisikawan kemudian berhasil memodelkan atom.
Relatif terhadap pengamatan sehari-hari, atom merupakan objek yang sangat kecil dengan massa yang sama kecilnya pula. Atom hanya dapat dipantau menggunakan peralatan khusus seperti mikroskop penerowongan payaran. Lebih dari 99,9% massa atom berpusat pada inti atom, dengan proton dan neutron yang bermassa hampir sama. Setiap unsur paling tidak memiliki satu isotop dengan inti yang tidak stabil yang dapat mengalami peluruhan radioaktif. Hal ini dapat mengakibatkan transmutasi yang mengubah jumlah proton dan neutron pada inti. Elektron yang terikat pada atom mengandung sejumlah aras energi, ataupun orbital, yang stabil dan dapat mengalami transisi di antara aras tersebut dengan menyerap ataupun memancarkan foton yang sesuai dengan perbedaan energi antara aras. Elektron pada atom menentukan sifat-sifat kimiawi sebuah unsur dan memengaruhi sifat-sifat magnetis atom tersebut.
Perkembangan Model Atom
Seorang filsuf Yunani yang bernama Democritus berpendapat bahwa jika suatu benda dibelah terus menerus, maka pada saat tertentu akan didapat akan didapat bagian yang tidak dapat dibelah lagi. Bagian seperti ini oleh Democritus disebut atom. Istilah atom berasal dari bahasa yunani “a” yang artinya tidak, sedangkan “tomos” yang artinya dibagi. Jadi, atom artinya tidak dapat dibagi lagi. Pengertian ini kemudian disempurnakan menjadi, atom adalah bagian terkecil dari suatu unsur yang tidak dapat dibelah lagi namun namun masih memiliki sifat kimia dan sifat fisika benda asalnya.
Atom dilambangkan dengan ZXA , dimana A = nomor massa (menunjukkan massa atom, merupakan jumlah proton dan neutron), Z = nomor atom (menunjukkan jumlah elektron atau proton). Proton bermuatan positif, neutron tidak bermuatan (netral), dan elektron bermuatan negatif. Massa proton = massa neutron = 1.800 kali massa elektron. .Atom-atom yang memiliki nomor atom sama dan nomor massa berbeda disebut isotop, atom-atom yang memiliki nomor massa sama dan nomor atom berbeda dinamakan isobar, atom-atom yang memiliiki jumlah neutron yang sama dinamakan isoton.
Macam-macam Model Atom
1. Model Atom John Dalton
Pada tahun 1808, John Dalton adalah seorang guru di Inggris yang melakukan perenungan tentang atom. Hasil perenungan Dalton menyempurnakan teori atom Democritus. Bayangan Dalton dan Democritus adalah bahwa benda itu berbentuk pejal. . Dalam perenungannya Dalton mengemukakan postulatnya tentang atom.
a. Setiap unsur terdiri dari partikel yang sangat keci yang dinamakan dengan atom
b. Atom dari unsur yang sama memiliiki sifat yang sama
c. Atom dari unsur berbeda memiliki sifat yang berbeda pula
d. Atom dari suatu unsur tidak dapat diubah menjadi atom unsur lain dengan reaksi kimia, atom tidak dapat dimusnahkan dan atom juga tidak dapat dihancurkan
e. Atom-atom dapat bergabung membentuk gabungan atom yang disebut molekul
f. Dalam senyawa, perbandingan massa masing-masing unsur adalah tetap
Kelebihan model atom Dalton:
Mulai membangkitkan minat terhadap penelitian mengenai model atom.
Kelemahan model atom John Dalton :
Teori atom Dalton tidak dapat menerangkan suatu larutan dapat menghantarkan arus listrik. Bagaimana mungkin bola pejal dapat menghantarkan arus listrik? padahal listrik adalah elektron yang bergerak. Berarti ada partikel lain yang dapat menghantarkan arus listrik.
2. Model Atom J.J. Thomson
Pada tahun 1897, J.J Thomson mengamati elektron Dia menemukan bahwa semua atom berisi elektron yang bermuatan negatif.[10] Dikarenakan atom bermuatan netral, maka setiap atom harus berisikan partikel bermuatan positif agar dapat menyeimbangkan muatan negatif dari elektron.
Kelebihan model atom Thomson
Membuktikan adanya partikel lain yang bermuatan negatif dalam atom. Berarti atom bukan merupakan bagian terkecil dari suatu unsur.
Kelemahan model atom Thomson
Model Thomson ini tidak dapat menjelaskan susunan muatan positif dan negatif dalam bola atom tersebut.
[sunting] 3. Model Atom Rutherford
Model atom Rutherford
Rutherford melakukan penelitian tentang hamburan sinar α pada lempeng emas. Hasil pengamatan tersebut dikembangkan dalam hipotesis model atom Rutherford.
a. Sebagian besar dari atom merupakan permukaan kosong.
b. Atom memiliki inti atom bermuatan positif yang merupakan pusat massa atom.
c. Elektron bergerak mengelilingi inti dengan kecepatan yanga sangat tinggi.
d. Sebagian besar partikel α lewat tanpa mengalami pembelokkan/hambatan. Sebagian kecil dibelokkan, dan sedikit sekali yang dipantulkan.
Kelemahan Model Atom Rutherford
a. Menurut hukum fisika klasik, elektron yang bergerak mengelilingi inti memancarkan energi dalam bentuk gelombang elektromagnetik. Akibatnya, lama-kelamaan elektron itu akan kehabisan energi dan akhirnya menempel pada inti.
b. Model atom rutherford ini belum mampu menjelaskan dimana letak elektron dan cara rotasinya terhadap ini atom.
c. Elektron memancarkan energi ketika bergerak, sehingga energi atom menjadi tidak stabil.
d. Tidak dapat menjelaskan spektrum garis pada atom hidrogen (H).
[sunting] 4. Model Atom Niels Bohr
Model Atom Neils Bohr
Pada tahun 1913, Niels Bohr mengemukakan pendapatnya bahwa elektron bergerak mengelilingi inti atom pada lintasan-lintasan tertentu yang disebut kulit atom. Model atom Bohr merupakan penyempurnaan dari model atom Rutherford.
Kelemahan teori atom Rutherford diperbaiki oleh Neils Bohr dengan postulat bohr :
a. Elektron-elektron yang mengelilingi inti mempunyai lintasan dan energi tertentu.
b. Dalam orbital tertentu, energi elektron adalah tetap. Elektron akan menyerap energi jika berpindah ke orbit yang lebih luar dan akan membebaskan energi jika berpindah ke orbit yang lebih dalam
Kelebihan model atom Bohr
atom terdiri dari beberapa kulit untuk tempat berpindahnya elektron.
Kelemahan model atom Bohr
a. tidak dapat menjelaskan efek Zeeman dan efek Strack.
b. Tidak dapat menerangkan kejadian-kejadian dalam ikatan kimia dengan baik, pengaruh medan magnet terhadap atom-atom, dan spektrum atom yang berelektron lebih banyak.
Rabu, 25 Mei 2011
Gempa bumi jepang
Gempa Jepang 2011 Sunami Raksasa Akibat Gempa Bumi 8,9SR Jepang Diguncang Gempa Super Dahsyat. Info Terbaru Tahun 2011 - Tokyo. Gempa dasyat berkekuatan 8,9 menghantam timur laut Jepang, Jumat siang, dan menyebabkan banyak korban, kebakaran dan tsunami sekitar empat meter di sepanjang pantai negara itu, lapor televisi NHK dan saksi. Apakah ini akibat Fenomena Supermoon 2011 Picu Bencana Dahsyat Supermoon Bulan Super Dekat Dengan Bumi. Lihat juga Foto-foto Mahasiswi Telanjang Uk Petra 2011 Perempuan Cantik Nekad Telanjang di Kampus UK Petra Surabaya.
Setelah gempa berkekuatan 8,9 itu terjadi sejumlah gempa susulan yang juga kuat dan memicu peringatan tsunami setinggi 10 meter. Gempat tersebut menyebabkan bangunan terguncang di ibukota Tokyo.
Gambar-gambar televisi menunjukkan terjangan air bah yang membawa puing-puing bangunan. Televisi NHK memperlihatkan kobaran api dan asap hitam mengepul dari sebuah bangunan di Odaiba, daerah pinggiran Tokyo, dan kerata api di utara negara itu dihentikan.
Asap hitam juga membubung dari kawasan industri di daerah Yokohama Isogo. Tayangan televisi menunjukkan perahu, mobil dan truk mengambang di air setelah tsunami kecil menghantam kota Kamaichi di utara Jepang. Sebuah jembatan, lokasinya yang tidak diketahui, tampak telah runtuh ke dalam air. Kantor berita Kyodo mengatakan, ada laporan tentang kebakaran di kota Sendai di timur laut.
"Bangunan ini berguncang untuk waktu yang terasa lama dan banyak orang-orang di ruang berita meraih helm mereka dan beberapa masuk ke bawah meja," kata koresponden Reuters, Linda Sieg di Tokyo. "Mungkin ini gempat terburuk saya rasakan sejak saya datang ke Jepang lebih dari 20 tahun alu." Para penumpang di jalur kereta bawah tanah di Tokyo menjerit. Goncangannya sangat kuat, dan sangat sulit bagi orang untuk tetap berdiri, kata wartawan Reuters, Mariko Katsumura.
Ratusan pekerja kantor dan pengunjung toko tumpah ke jalan Hitotsugi, di pusat perbelanjaan di Akasaka di pusat kota Tokyo.
Badan Survei Geologi AS (USGS) sebelumnya menyatakan gempa tersebut berkekuatan 7,9 dan berpusat di kedalaman 15,1 mil, sekitar 81 mil di sebelah timur Sendai, di pulau utama Honshu. Namun badan itu kemudian menyatakan, gempa tersebut berkekuatan 8,9.
Pantai Pasifik di Jepang timur laut, yang disebut Sanriku, telah menderita akibat gempa dan tsunami di masa lalu. Rabu lalu daerah itu dilanda gempa berkekuatan 7,2. Tahun 1933, gempa berkekuatan 8,1 di daerah tersebut menewaskan lebih dari 3.000 orang.
Gempa bumi merupakan hal biasa di Jepang, salah satu daerah seismik paling aktif di dunia. Sekitar 20 persen gempa berkekuatan 6,0 atau lebih dunia terjadi di Jepang. kompas.com
Foto: Ilustrasi
Gempa Jepang 2011, Gempa Bumi Di Jepang 2011 Terbaru, Sunami Raksasa Akibat Gempa Bumi 8,9SR Jepang, Video Gelombang Tsunami Jepang, Youtube Sunami Jepang Gempa 8,9 SR, Jepang Diguncang Gempa Super Dahsyat, Foto Korban Gempa Jepang Terbaru, Kondisi Tokyo Jepang Terkini Pasca Gempa 2011
Setelah gempa berkekuatan 8,9 itu terjadi sejumlah gempa susulan yang juga kuat dan memicu peringatan tsunami setinggi 10 meter. Gempat tersebut menyebabkan bangunan terguncang di ibukota Tokyo.
Gambar-gambar televisi menunjukkan terjangan air bah yang membawa puing-puing bangunan. Televisi NHK memperlihatkan kobaran api dan asap hitam mengepul dari sebuah bangunan di Odaiba, daerah pinggiran Tokyo, dan kerata api di utara negara itu dihentikan.
Asap hitam juga membubung dari kawasan industri di daerah Yokohama Isogo. Tayangan televisi menunjukkan perahu, mobil dan truk mengambang di air setelah tsunami kecil menghantam kota Kamaichi di utara Jepang. Sebuah jembatan, lokasinya yang tidak diketahui, tampak telah runtuh ke dalam air. Kantor berita Kyodo mengatakan, ada laporan tentang kebakaran di kota Sendai di timur laut.
"Bangunan ini berguncang untuk waktu yang terasa lama dan banyak orang-orang di ruang berita meraih helm mereka dan beberapa masuk ke bawah meja," kata koresponden Reuters, Linda Sieg di Tokyo. "Mungkin ini gempat terburuk saya rasakan sejak saya datang ke Jepang lebih dari 20 tahun alu." Para penumpang di jalur kereta bawah tanah di Tokyo menjerit. Goncangannya sangat kuat, dan sangat sulit bagi orang untuk tetap berdiri, kata wartawan Reuters, Mariko Katsumura.
Ratusan pekerja kantor dan pengunjung toko tumpah ke jalan Hitotsugi, di pusat perbelanjaan di Akasaka di pusat kota Tokyo.
Badan Survei Geologi AS (USGS) sebelumnya menyatakan gempa tersebut berkekuatan 7,9 dan berpusat di kedalaman 15,1 mil, sekitar 81 mil di sebelah timur Sendai, di pulau utama Honshu. Namun badan itu kemudian menyatakan, gempa tersebut berkekuatan 8,9.
Pantai Pasifik di Jepang timur laut, yang disebut Sanriku, telah menderita akibat gempa dan tsunami di masa lalu. Rabu lalu daerah itu dilanda gempa berkekuatan 7,2. Tahun 1933, gempa berkekuatan 8,1 di daerah tersebut menewaskan lebih dari 3.000 orang.
Gempa bumi merupakan hal biasa di Jepang, salah satu daerah seismik paling aktif di dunia. Sekitar 20 persen gempa berkekuatan 6,0 atau lebih dunia terjadi di Jepang. kompas.com
Foto: Ilustrasi
Gempa Jepang 2011, Gempa Bumi Di Jepang 2011 Terbaru, Sunami Raksasa Akibat Gempa Bumi 8,9SR Jepang, Video Gelombang Tsunami Jepang, Youtube Sunami Jepang Gempa 8,9 SR, Jepang Diguncang Gempa Super Dahsyat, Foto Korban Gempa Jepang Terbaru, Kondisi Tokyo Jepang Terkini Pasca Gempa 2011
EPISTEMOLOGI PSIKOANALISIS SIGMUND FREUD PERIODE KLASIK
Nama : Rezki Apriyani
Kelas : 1PA04
Npm : 15510831
EPISTEMOLOGI PSIKOANALISIS SIGMUND FREUD PERIODE KLASIK
A. Latar Belakang
Sepanjang dialektika manusia dalam masalah ilmu pengetahuan setelah renaissance, epistemologi selalu menjadi bahan diskusi, sekaligus bahan perdebatan yang tidak pernah habis. Rasionalisme yang memandang pengalaman inderawi hanya sebagai sejenis perangsang bagi pikiran, kemudian direspon oleh empirisme yang balik mengatakan bahwa akal hanya sejenis tempat penampungan yang secara pasif menerima hasil-hasil penginderaan.[1] Walaupun tidak sama sekali mengingkari peran akal maupun indera, pada intinya keduanya tetap berdebat masalah sumber pengetahuan. Rasionalisme dan empirisme kemudian mendapat respon dari Immanuel Kant dengan pengakuannya bahwa akal dan indera adalah sumber ilmu pengetahuan.
Perdebatan-perdebatan epistemologi tersebut tidak berakhir pada satu tahap atau didamaikan oleh aliran tertentu, karena ia tidak hanya berbicara masalah sumber, tetapi juga metode dan struktur (pola pikir tokoh atau aliran). Metode untuk menjadikan pengetahuan sebagai ilmu memuat syarat-syarat yang berfungsi menguji keabsahan ilmu. Syarat-syarat itu adalah bahan perdebatan yang menambah masalah epistemologi tidak pernah tuntas. Richard Rorty, yang pemikirannya diulas oleh I. Bambang Sugiharto adalah salah satu tokoh yang menyerang epistemologi dari sisi metode. Ia mengkritik bahwa metode rasionalisme adalah bentuk keanehan. Menurut rasionalisme, ilmu harus selalu merupakan persesuaian persis antara akal dan kenyataan luar. Untuk mencapai persesuaian, rasionalisme mengharuskan adanya refleksi yang mengkaji pendapat-pendapat yang dilakukan oleh akal sendiri. Pendapat-pendapat ditata secara betul sesuai dengan hubungan-hubungan yang jelas dan tegas. Seluruh prosedur tersebut dilakukan oleh akal. Artinya, keabsahan ilmu didasarkan pada akal.Otoritas akal itulah yang justru menjadikan upaya persesuaian pengetahuan antara akal dan kenyataan luar tidak tercapai. Subjektivitas adalah penentu sahihnya ilmu. Oleh karena itu, wajar jika empirisme mempermasalahkan subjektivitas rasionalisme.
Epistemologi adalah pemegang wewenang atas keabsahan ilmu. Pada waktu yang sama, wewenang epistemologi adalah “kekangan” bagi semua ilmu. Semua ilmu harus tunduk dan patuh terhadap epistemologi agar mendapat predikat sah. Dan konsekuensi terbesar bagi ilmu yang tidak patuh adalah claim ketidaksahihan. Konsekuensi tersebut berlaku bagi semua ilmu, tidak terkecuali psikologi.
August Comte tidak mengakui psikologi sebagai cabang ilmu, karena kajiannya adalah pengalaman batiniah,tidak dapat diindera, atau tidak terbukti (non-evident). Dari sisi sumber maupun metode, psikologi dikatakan tidak memiliki kesahihan. Tentu saja redikat tersebut menimbulkan “kegerahan” beberapa ilmuwan yang disebut ilmuwan psikologi. Johan Friedrich Herbart (1776-1841) kontan menulis A Texbook of Psychology dan Psychology is Science yang menegaskan bahwa psikologi adalah ilmu.Sayangnya, Herbart terjebak oleh tulisannya sendiri. Ia tetap tidak membantu psikologi menjadi diakui sebagai ilmu karena tidak pernah melakukan penelitian ilmiah, melainkan hanya spekulasi-spekulasi. Herbart gugur sebagai “bapak psikologi” sebab tidak mematuhi syarat-syarat ilmu pengetahuan. Psikologi baru diakui setelah Wilhelm Wund mendirikan laboratorium psikologi di Leipzig, Jerman.Psikologi diakui sebagai ilmu karena memiliki laboratorium yang berfungsi mengukur fenomena-fenomena psikologis tidak tampak menjadi tampak. Jadi, psikologi mengembangkan pengukuran-pengukuran terhadap fenomena-fenomena psikologi agar mendapat predikat ilmu.
Jika psikologi pernah tidak diakui sebagai ilmu karena kuasa epistemologi, bagaimana dengan psikoanalisis. Jawabannya adalah tidak jauh berbeda dengan psikologi. Sigmund Freud, pendiri psikoanalisis hidup di masa August Comte (1798-1857) yang mengusung positivism.lengkap dengan epistemologi yang harus diberlakukan pada semua ilmu pengetahuan. Di tengah penghambaan ilmu pengetahuan terhadap positivisme, Freud mendapat nilai buruk. Epistemologinya diserang, sehingga dalam pengantar “Tafsir Mimpi” ia merasa perlu menegaskan bagaimana kedudukan epistemologi mimpi dalam pengetahuan ilmiah kontemporer.Dari kalangan psikologi sendiri pun tidak sedikit yang enggan menerima psikoanalisis. Bukti tersebut terlihat jelas dari paparan James D. Page yang mewakili para psikolog berikut ini;
The unwillingness of most psychologists to accept psychoanalysis fully has been explained on the grounds that Freudian concepts are based on subjective, nonscientific techniques that have no self-evident validity.
Ungkapan di atas secara jelas didasarkan pada sebuah ukuran epistemologi yang memiliki syarat-syarat tertentu. Psikoanalisis dianggap subjective, nonscientific, dan tidak memiliki validitas.
Pernyataan lain yang lebih tegas menyerang kecacatan asumsi yang dibangun Freud dalam menghasilkan teori adalah pernyataan;
“The Oedipus Complex is based on the faulty assumption that there is a fixed, uniform pattern of family life.”
Pernyataan-pernyataan di atas adalah gambaran riil bagaimana besarnya peran epistemologi dalam menilai ilmu pengetahuan. Dengan alasan itulah, penulis merasa perlu untuk mengetahui bagaimana epistemologi, yang dalam hal ini adalah epistemologi psikoanalisis Sigmund Freud sebagai salah satu aliran dalam ilmu yang sedang penulis tekuni.
B. Rumusan Masalah
Epistemologi didefinisikan sebagai cabang filsafat yang memperlajari asal mula atau sumber, struktur, metode dan syahnya (validitas) pengetahuan.Dengan mengacu pada definisi tersebut, maka kajian ini diarahkan pada ketiga unsur yang terdapat dalam epistemologi, yaitu:
Apa asal usul atau sumber yang digunakan Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik?
Bagaimana struktur berpikir Sigmund Freud untuk merumuskan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik?
Bagaimana metode Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik?
C. Tujuan Kajian
Kajian ini bertujuan untuk memahami (to understand) dan menjelaskan (to explan):
1. Asal usul atau sumber yang digunakan Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik.
2. Struktur berpikir Sigmund Freud untuk merumuskan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik.
3. Metode Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik.
D. Manfaat Kajian
Kajian ini diharapkan mampu memberikan sumbangan sebesar-besarnya bagi:
1. Penulis pribadi. Sampai saat ini penulis merasa belum memahami ilmu psikologi secara mendalam. Maka, kajian ini akan sangat bermanfaat untuk mencapai pemahaman mendalam tentang ilmu psikologi. Walaupun psikoanalisis hanya satu dari sekian banyak aliran psikologi dan tidak menjamin penguasaan seluruh ilmu psikologi, namun, menurut penulis pemahaman terhadap sesuatu secara mendalam lebih baik dari pada banyak, tetapi hanya setengah. Selain manfaat di atas, kajian ini sekaligus menjadi dasar bagi penulis untuk mengetahui kelebihan-kelebihan maupun kelemahan-kelemahan psikoanalisis. Metode kajian yang digunakan juga akan banyak melatih kemampuan penulis dalam menyekemakan dan menganalisis pemikiran ilmuwan. Pada tahap yang lebih lanjut kajian ini akan menjadi bekal keilmuan yang sangat penting dalam pendidikan yang lebih tinggi.
2. Ilmuwan, akademisi, psikolog maupun psikiatri dalam memahami psikoanalisis Sigmund Freud. Seluruh kalangan yang bergelut dalam psikoanalisis diharapkan mendapatkan bantuan pada hal yang lebih inti, yaitu epistemologi. Menurut penulis, kajian ini sangat berguna sebagai patokan dasar dalam mengembangkan ataupun mengkritisi psikoanalisis.
3. Disiplin ilmu filsafat. Filsafat adalah salah satu disiplin yang banyak bersentuhan langsung dengan psikologi. Satu hal yang sama antara filsafat dan psikologi adalah sama-sama membicarakan manusia. Freud juga tidak melepaskan diri dari filsafat. Ia mengaku sangat terbantu oleh pemikiran salah satu filsuf Jerman, Schopenhauer yang berusaha menjelaskan penyakit jiwa dalam bukunya “Dunia Sebagai Kehendak dan Ide”. Filsuf-filsuf modern seperti Michel Foucault dan Edward W. Said misalnya, banyak mengutip pemikiran Freud. Dengan demikian pemikiran Freud langsung bersentuhan dengan filsafat.
4. Mahasiswa psikologi. Psikoanalisis sebagai materi mata kuliah pokok dalam mempelajari keilmuan psikologi wajib didalami secara utuh. Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan, maka semakin besar tuntutan bagi mahasiswa untuk menguasai keilmuannya secara utuh, bukan setengah-setengah, apalagi hanya sekedar ingin tahu. Untuk itu kajian dalam skripsi ini dapat menjadi pelengkap dalam usaha memahami keilmuan psikologi.
E. Batasan Kajian
Banyaknya teori psikoanalisis dan perubahan-perubahan yang ada di dalamnya membuat penulis memberi batasan dalam kajian ini. Penulis membatasi hanya sampai pada periode pertama, yang selanjutnya disebut klasik. Pembedaan periode tersebut mengikuti pembedaan yang dilakukan Kees Bertens. Kees Bertens membagi pemikiran Freud menjadi tiga periode. Periode pertama (1895-1905) adalah periode merintis psikoanalisis sampai pada penemuan teori-teori mendasar. Pada periode ini Freud menghasilkan beberapa karya penting, yaitu Studies on Hysteria, The Interpretation of Dreams, Psychopathology of Everyday Life, Three Essays on the Theory of Sexuality, Jokes and Their Relation to The Unconscious, dan Dora Case. Periode kedua (1905-1920) adalah pendalaman teori psikoanalisis, dan periode ketiga (1920-1939) adalah periode revisi beberapa teori penting dalam psikoanalisis.Perubahan-perubahan tersebut memungkinkan terjadinya perubahan epistemologi. Kemungkinan itulah yang menurut penulis akan mempersulit fokus penelitian. Maka dari itu, penulis membatasi kajian ini hanya pada periode pertama (selanjutnya disebut klasik).
F. Sistematika Penulisan
Tugas ini akan dipecah menjadi lima bab. Bab I berisi latar belakang, yaitu alasan pentingnya mengangkat kajian ini, rumusan masalah, tujuan kajian, manfaat kajian, batasan kajian, sistematika penulisan, metode kajian, dan landasan teori. Bab II berisi riwayat hidup dan pemikiran Sigmund Freud.
Bab III mengulas secara spesifik teori psikoanalisis pada periode klasik. Bab IV merupakan jawaban rumusan masalah dalam kajian ini. Dan pada bab V adalah bagian kesimpulan dan saran.
G. Metode Kajian
1. Model Kajian
Kajian ini merupakan penelitian kepustakaan yang menggunakan model Historis Faktual, yaitu penulis mengikuti cara dan arah pikiran yang disajikan tokoh dalam naskah untuk mencari jawaban atas rumusan masalah.Jadi, penulis mengikuti kronologis historis Sigmund Freud dari awal ia memulai karir psikoanalisis hingga menghasilkan teori-teori psikoanalisis.
2. Langkah-langkah Kajian
a. Pengumpulan Data (literatur), baik sumber primer, sumber sekunder maupun sumber pelengkap. Sumber primer adalah karya-karya Freud pada periode klasik maupun di luar periode klasik yang menjelaskan atau menggambarkan epistemologi psikoanalisis pada periode klasik. Sumber-sumber yang dimaksud adalah, Sekelumit Sejarah Psikoanalisa (1986), Memperkenalkan Psikoanalisa: Lima Ceramah (1991), Tafsir Mimpi (2001), Teori Seks (2003a), Psikopatologi dalam Kehidupan Sehari-hari (2005), Pengantar Umum Psikoanalisis (2006). Sumber sekunder adalah karya orang lain yang menjelaskan atau menggambarkan epistemologi psikoanalisis pada periode klasik. Sedangkan sumber pelengkap adalah karya Freud dan karya orang lain yang tidak menjelaskan atau menggambarkan epistemologi psikoanalisis pada periode klasik (baik berupa buku, artikel, jurnal, atau tulisan dari internet yang bisa dipertanggungjawabkan). Secara spesifik, sumber pelengkap tidak berhubungan langsung dengan apa yang ingin ditemukan dalam rumusan masalah, misalnya sumber yang hanya menjelaskan riwayat hidup Freud.
b. Klasifikasi Data, yaitu pengklasifikasian pemikiran Freud berdasarkan periode. Hal ini dilakukan dengan mengacu pada batasan masalah, yaitu hanya sampai pada periode klasik.
c. Pengolahan Data.
Setelah pemikiran Freud pada periode klasik diketahui, maka data-data tersebut akan diolah dengan cara sebagai berikut:
1. Analisis, yaitu menelaah dan mengkaji data-data yang tersedia sehingga mendapatkan pemahaman tentang epistemologi psikoanalisis Sigmund Freud pada periode klasik.
2. Interpretasi, yaitu menyelami pemikiran-pemikiran Freud pada periode klasik secara mendalam yang sesuai dengan fokus penelitian, sehingga dapat ditangkap artinya.
3. Komparasi, yaitu membandingkan pendapat Freud yang ada di satu buku dengan pendapat yang ada di buku lain.
4. Menggunakan bahasa Inklusi atau Analogikal, yaitu peneliti mengikuti kaidah bahasa buku untuk teks literatur atau alur pikiran sesuai bahasa yang dipakai tokoh.
5. Deskripsi, penulis menguraikan secara teratur seluruh konsepsi yang ada di dalam literatur-literatur.
________________________________________
[1] Louis O. Kattsoff, Pengantar Filsafat, terj. Soejono Soemargono (Yogyakarta, 1996), hal. 137, 139.
[2] Ibid, hal. 144.
[3] Richard Rorty, Conaequences of Pragmatism (Minneapolis, 1982) dalam I. Bambang Sugiharto, Posmodernisme: Tantangan Bagi Filsafat (Yogyakarta, 1996), hal. 69-70.
[4] Asmadi Alsa, Pendekatan Kuantitatif & Kualitatif serta Kombinasi dalam Penelitian Psikologi: Satu Uraian Singkat dan Contoh Berbagai Tipe Penelitian (Yogyakarta, 2004), hal. 9.
[5] Ibid, hal. 10.
[6] Ibid.
[7] Donny Gahral Adian, Percik Pemikiran Kontemporer: Sebuah Pengantar Komprehensif (Yogyakarta, 2006), hal. 24.
[8] Sigmund Freud, Tafsir Mimpi, terj, Apri Danarto, Ekandari Sulistyaningsih, Ervita (Yogyakarta, 2001), hal. 1-2.
[9] James D. Pages, Abnormal Psychology: Clinical Approach to Psychological Deviants (New Delhi, 1978), hal. 194.
[10] Ibid, hal. 193.
[11] Ali Mudhofir, Pengenalan Filsafat dalam Koento WibisonoSiswomihardjo, dkk. (Tim Dosen Filsafat Ilmu Fakultas Filsafat UGM), Filsafat Ilmu (Yogyakarta, 2003), hal. 32.
[12] Sigmund Freud (Jakarta, 1986), op. cit., hal. 12.
[13] Kees Bertens (pengantar) dalam Sigmund Freud (Jakarta, 1991), op. cit., hal. xx-xxxvi.
Periode kedua bisa disebut sebagai periode persinggungan Freud dengan sejarah, peradaban dan lain-lain, diantaranya adalah Totem and Taboo.
[14] Sudarto, Metode Penelitian Filsafat, (Jakarta, 1996), hal. 103.
Kelas : 1PA04
Npm : 15510831
EPISTEMOLOGI PSIKOANALISIS SIGMUND FREUD PERIODE KLASIK
A. Latar Belakang
Sepanjang dialektika manusia dalam masalah ilmu pengetahuan setelah renaissance, epistemologi selalu menjadi bahan diskusi, sekaligus bahan perdebatan yang tidak pernah habis. Rasionalisme yang memandang pengalaman inderawi hanya sebagai sejenis perangsang bagi pikiran, kemudian direspon oleh empirisme yang balik mengatakan bahwa akal hanya sejenis tempat penampungan yang secara pasif menerima hasil-hasil penginderaan.[1] Walaupun tidak sama sekali mengingkari peran akal maupun indera, pada intinya keduanya tetap berdebat masalah sumber pengetahuan. Rasionalisme dan empirisme kemudian mendapat respon dari Immanuel Kant dengan pengakuannya bahwa akal dan indera adalah sumber ilmu pengetahuan.
Perdebatan-perdebatan epistemologi tersebut tidak berakhir pada satu tahap atau didamaikan oleh aliran tertentu, karena ia tidak hanya berbicara masalah sumber, tetapi juga metode dan struktur (pola pikir tokoh atau aliran). Metode untuk menjadikan pengetahuan sebagai ilmu memuat syarat-syarat yang berfungsi menguji keabsahan ilmu. Syarat-syarat itu adalah bahan perdebatan yang menambah masalah epistemologi tidak pernah tuntas. Richard Rorty, yang pemikirannya diulas oleh I. Bambang Sugiharto adalah salah satu tokoh yang menyerang epistemologi dari sisi metode. Ia mengkritik bahwa metode rasionalisme adalah bentuk keanehan. Menurut rasionalisme, ilmu harus selalu merupakan persesuaian persis antara akal dan kenyataan luar. Untuk mencapai persesuaian, rasionalisme mengharuskan adanya refleksi yang mengkaji pendapat-pendapat yang dilakukan oleh akal sendiri. Pendapat-pendapat ditata secara betul sesuai dengan hubungan-hubungan yang jelas dan tegas. Seluruh prosedur tersebut dilakukan oleh akal. Artinya, keabsahan ilmu didasarkan pada akal.Otoritas akal itulah yang justru menjadikan upaya persesuaian pengetahuan antara akal dan kenyataan luar tidak tercapai. Subjektivitas adalah penentu sahihnya ilmu. Oleh karena itu, wajar jika empirisme mempermasalahkan subjektivitas rasionalisme.
Epistemologi adalah pemegang wewenang atas keabsahan ilmu. Pada waktu yang sama, wewenang epistemologi adalah “kekangan” bagi semua ilmu. Semua ilmu harus tunduk dan patuh terhadap epistemologi agar mendapat predikat sah. Dan konsekuensi terbesar bagi ilmu yang tidak patuh adalah claim ketidaksahihan. Konsekuensi tersebut berlaku bagi semua ilmu, tidak terkecuali psikologi.
August Comte tidak mengakui psikologi sebagai cabang ilmu, karena kajiannya adalah pengalaman batiniah,tidak dapat diindera, atau tidak terbukti (non-evident). Dari sisi sumber maupun metode, psikologi dikatakan tidak memiliki kesahihan. Tentu saja redikat tersebut menimbulkan “kegerahan” beberapa ilmuwan yang disebut ilmuwan psikologi. Johan Friedrich Herbart (1776-1841) kontan menulis A Texbook of Psychology dan Psychology is Science yang menegaskan bahwa psikologi adalah ilmu.Sayangnya, Herbart terjebak oleh tulisannya sendiri. Ia tetap tidak membantu psikologi menjadi diakui sebagai ilmu karena tidak pernah melakukan penelitian ilmiah, melainkan hanya spekulasi-spekulasi. Herbart gugur sebagai “bapak psikologi” sebab tidak mematuhi syarat-syarat ilmu pengetahuan. Psikologi baru diakui setelah Wilhelm Wund mendirikan laboratorium psikologi di Leipzig, Jerman.Psikologi diakui sebagai ilmu karena memiliki laboratorium yang berfungsi mengukur fenomena-fenomena psikologis tidak tampak menjadi tampak. Jadi, psikologi mengembangkan pengukuran-pengukuran terhadap fenomena-fenomena psikologi agar mendapat predikat ilmu.
Jika psikologi pernah tidak diakui sebagai ilmu karena kuasa epistemologi, bagaimana dengan psikoanalisis. Jawabannya adalah tidak jauh berbeda dengan psikologi. Sigmund Freud, pendiri psikoanalisis hidup di masa August Comte (1798-1857) yang mengusung positivism.lengkap dengan epistemologi yang harus diberlakukan pada semua ilmu pengetahuan. Di tengah penghambaan ilmu pengetahuan terhadap positivisme, Freud mendapat nilai buruk. Epistemologinya diserang, sehingga dalam pengantar “Tafsir Mimpi” ia merasa perlu menegaskan bagaimana kedudukan epistemologi mimpi dalam pengetahuan ilmiah kontemporer.Dari kalangan psikologi sendiri pun tidak sedikit yang enggan menerima psikoanalisis. Bukti tersebut terlihat jelas dari paparan James D. Page yang mewakili para psikolog berikut ini;
The unwillingness of most psychologists to accept psychoanalysis fully has been explained on the grounds that Freudian concepts are based on subjective, nonscientific techniques that have no self-evident validity.
Ungkapan di atas secara jelas didasarkan pada sebuah ukuran epistemologi yang memiliki syarat-syarat tertentu. Psikoanalisis dianggap subjective, nonscientific, dan tidak memiliki validitas.
Pernyataan lain yang lebih tegas menyerang kecacatan asumsi yang dibangun Freud dalam menghasilkan teori adalah pernyataan;
“The Oedipus Complex is based on the faulty assumption that there is a fixed, uniform pattern of family life.”
Pernyataan-pernyataan di atas adalah gambaran riil bagaimana besarnya peran epistemologi dalam menilai ilmu pengetahuan. Dengan alasan itulah, penulis merasa perlu untuk mengetahui bagaimana epistemologi, yang dalam hal ini adalah epistemologi psikoanalisis Sigmund Freud sebagai salah satu aliran dalam ilmu yang sedang penulis tekuni.
B. Rumusan Masalah
Epistemologi didefinisikan sebagai cabang filsafat yang memperlajari asal mula atau sumber, struktur, metode dan syahnya (validitas) pengetahuan.Dengan mengacu pada definisi tersebut, maka kajian ini diarahkan pada ketiga unsur yang terdapat dalam epistemologi, yaitu:
Apa asal usul atau sumber yang digunakan Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik?
Bagaimana struktur berpikir Sigmund Freud untuk merumuskan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik?
Bagaimana metode Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik?
C. Tujuan Kajian
Kajian ini bertujuan untuk memahami (to understand) dan menjelaskan (to explan):
1. Asal usul atau sumber yang digunakan Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik.
2. Struktur berpikir Sigmund Freud untuk merumuskan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik.
3. Metode Sigmund Freud untuk mendapatkan teori-teori psikoanalisis pada periode klasik.
D. Manfaat Kajian
Kajian ini diharapkan mampu memberikan sumbangan sebesar-besarnya bagi:
1. Penulis pribadi. Sampai saat ini penulis merasa belum memahami ilmu psikologi secara mendalam. Maka, kajian ini akan sangat bermanfaat untuk mencapai pemahaman mendalam tentang ilmu psikologi. Walaupun psikoanalisis hanya satu dari sekian banyak aliran psikologi dan tidak menjamin penguasaan seluruh ilmu psikologi, namun, menurut penulis pemahaman terhadap sesuatu secara mendalam lebih baik dari pada banyak, tetapi hanya setengah. Selain manfaat di atas, kajian ini sekaligus menjadi dasar bagi penulis untuk mengetahui kelebihan-kelebihan maupun kelemahan-kelemahan psikoanalisis. Metode kajian yang digunakan juga akan banyak melatih kemampuan penulis dalam menyekemakan dan menganalisis pemikiran ilmuwan. Pada tahap yang lebih lanjut kajian ini akan menjadi bekal keilmuan yang sangat penting dalam pendidikan yang lebih tinggi.
2. Ilmuwan, akademisi, psikolog maupun psikiatri dalam memahami psikoanalisis Sigmund Freud. Seluruh kalangan yang bergelut dalam psikoanalisis diharapkan mendapatkan bantuan pada hal yang lebih inti, yaitu epistemologi. Menurut penulis, kajian ini sangat berguna sebagai patokan dasar dalam mengembangkan ataupun mengkritisi psikoanalisis.
3. Disiplin ilmu filsafat. Filsafat adalah salah satu disiplin yang banyak bersentuhan langsung dengan psikologi. Satu hal yang sama antara filsafat dan psikologi adalah sama-sama membicarakan manusia. Freud juga tidak melepaskan diri dari filsafat. Ia mengaku sangat terbantu oleh pemikiran salah satu filsuf Jerman, Schopenhauer yang berusaha menjelaskan penyakit jiwa dalam bukunya “Dunia Sebagai Kehendak dan Ide”. Filsuf-filsuf modern seperti Michel Foucault dan Edward W. Said misalnya, banyak mengutip pemikiran Freud. Dengan demikian pemikiran Freud langsung bersentuhan dengan filsafat.
4. Mahasiswa psikologi. Psikoanalisis sebagai materi mata kuliah pokok dalam mempelajari keilmuan psikologi wajib didalami secara utuh. Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan, maka semakin besar tuntutan bagi mahasiswa untuk menguasai keilmuannya secara utuh, bukan setengah-setengah, apalagi hanya sekedar ingin tahu. Untuk itu kajian dalam skripsi ini dapat menjadi pelengkap dalam usaha memahami keilmuan psikologi.
E. Batasan Kajian
Banyaknya teori psikoanalisis dan perubahan-perubahan yang ada di dalamnya membuat penulis memberi batasan dalam kajian ini. Penulis membatasi hanya sampai pada periode pertama, yang selanjutnya disebut klasik. Pembedaan periode tersebut mengikuti pembedaan yang dilakukan Kees Bertens. Kees Bertens membagi pemikiran Freud menjadi tiga periode. Periode pertama (1895-1905) adalah periode merintis psikoanalisis sampai pada penemuan teori-teori mendasar. Pada periode ini Freud menghasilkan beberapa karya penting, yaitu Studies on Hysteria, The Interpretation of Dreams, Psychopathology of Everyday Life, Three Essays on the Theory of Sexuality, Jokes and Their Relation to The Unconscious, dan Dora Case. Periode kedua (1905-1920) adalah pendalaman teori psikoanalisis, dan periode ketiga (1920-1939) adalah periode revisi beberapa teori penting dalam psikoanalisis.Perubahan-perubahan tersebut memungkinkan terjadinya perubahan epistemologi. Kemungkinan itulah yang menurut penulis akan mempersulit fokus penelitian. Maka dari itu, penulis membatasi kajian ini hanya pada periode pertama (selanjutnya disebut klasik).
F. Sistematika Penulisan
Tugas ini akan dipecah menjadi lima bab. Bab I berisi latar belakang, yaitu alasan pentingnya mengangkat kajian ini, rumusan masalah, tujuan kajian, manfaat kajian, batasan kajian, sistematika penulisan, metode kajian, dan landasan teori. Bab II berisi riwayat hidup dan pemikiran Sigmund Freud.
Bab III mengulas secara spesifik teori psikoanalisis pada periode klasik. Bab IV merupakan jawaban rumusan masalah dalam kajian ini. Dan pada bab V adalah bagian kesimpulan dan saran.
G. Metode Kajian
1. Model Kajian
Kajian ini merupakan penelitian kepustakaan yang menggunakan model Historis Faktual, yaitu penulis mengikuti cara dan arah pikiran yang disajikan tokoh dalam naskah untuk mencari jawaban atas rumusan masalah.Jadi, penulis mengikuti kronologis historis Sigmund Freud dari awal ia memulai karir psikoanalisis hingga menghasilkan teori-teori psikoanalisis.
2. Langkah-langkah Kajian
a. Pengumpulan Data (literatur), baik sumber primer, sumber sekunder maupun sumber pelengkap. Sumber primer adalah karya-karya Freud pada periode klasik maupun di luar periode klasik yang menjelaskan atau menggambarkan epistemologi psikoanalisis pada periode klasik. Sumber-sumber yang dimaksud adalah, Sekelumit Sejarah Psikoanalisa (1986), Memperkenalkan Psikoanalisa: Lima Ceramah (1991), Tafsir Mimpi (2001), Teori Seks (2003a), Psikopatologi dalam Kehidupan Sehari-hari (2005), Pengantar Umum Psikoanalisis (2006). Sumber sekunder adalah karya orang lain yang menjelaskan atau menggambarkan epistemologi psikoanalisis pada periode klasik. Sedangkan sumber pelengkap adalah karya Freud dan karya orang lain yang tidak menjelaskan atau menggambarkan epistemologi psikoanalisis pada periode klasik (baik berupa buku, artikel, jurnal, atau tulisan dari internet yang bisa dipertanggungjawabkan). Secara spesifik, sumber pelengkap tidak berhubungan langsung dengan apa yang ingin ditemukan dalam rumusan masalah, misalnya sumber yang hanya menjelaskan riwayat hidup Freud.
b. Klasifikasi Data, yaitu pengklasifikasian pemikiran Freud berdasarkan periode. Hal ini dilakukan dengan mengacu pada batasan masalah, yaitu hanya sampai pada periode klasik.
c. Pengolahan Data.
Setelah pemikiran Freud pada periode klasik diketahui, maka data-data tersebut akan diolah dengan cara sebagai berikut:
1. Analisis, yaitu menelaah dan mengkaji data-data yang tersedia sehingga mendapatkan pemahaman tentang epistemologi psikoanalisis Sigmund Freud pada periode klasik.
2. Interpretasi, yaitu menyelami pemikiran-pemikiran Freud pada periode klasik secara mendalam yang sesuai dengan fokus penelitian, sehingga dapat ditangkap artinya.
3. Komparasi, yaitu membandingkan pendapat Freud yang ada di satu buku dengan pendapat yang ada di buku lain.
4. Menggunakan bahasa Inklusi atau Analogikal, yaitu peneliti mengikuti kaidah bahasa buku untuk teks literatur atau alur pikiran sesuai bahasa yang dipakai tokoh.
5. Deskripsi, penulis menguraikan secara teratur seluruh konsepsi yang ada di dalam literatur-literatur.
________________________________________
[1] Louis O. Kattsoff, Pengantar Filsafat, terj. Soejono Soemargono (Yogyakarta, 1996), hal. 137, 139.
[2] Ibid, hal. 144.
[3] Richard Rorty, Conaequences of Pragmatism (Minneapolis, 1982) dalam I. Bambang Sugiharto, Posmodernisme: Tantangan Bagi Filsafat (Yogyakarta, 1996), hal. 69-70.
[4] Asmadi Alsa, Pendekatan Kuantitatif & Kualitatif serta Kombinasi dalam Penelitian Psikologi: Satu Uraian Singkat dan Contoh Berbagai Tipe Penelitian (Yogyakarta, 2004), hal. 9.
[5] Ibid, hal. 10.
[6] Ibid.
[7] Donny Gahral Adian, Percik Pemikiran Kontemporer: Sebuah Pengantar Komprehensif (Yogyakarta, 2006), hal. 24.
[8] Sigmund Freud, Tafsir Mimpi, terj, Apri Danarto, Ekandari Sulistyaningsih, Ervita (Yogyakarta, 2001), hal. 1-2.
[9] James D. Pages, Abnormal Psychology: Clinical Approach to Psychological Deviants (New Delhi, 1978), hal. 194.
[10] Ibid, hal. 193.
[11] Ali Mudhofir, Pengenalan Filsafat dalam Koento WibisonoSiswomihardjo, dkk. (Tim Dosen Filsafat Ilmu Fakultas Filsafat UGM), Filsafat Ilmu (Yogyakarta, 2003), hal. 32.
[12] Sigmund Freud (Jakarta, 1986), op. cit., hal. 12.
[13] Kees Bertens (pengantar) dalam Sigmund Freud (Jakarta, 1991), op. cit., hal. xx-xxxvi.
Periode kedua bisa disebut sebagai periode persinggungan Freud dengan sejarah, peradaban dan lain-lain, diantaranya adalah Totem and Taboo.
[14] Sudarto, Metode Penelitian Filsafat, (Jakarta, 1996), hal. 103.
Sabtu, 21 Mei 2011
Kanker otak
Nama : Rezki Apriyani
Kelas : 1PA04
NPM : 15510831
Otak adalah pusat pengendalian pikiran dan seluruh tubuh. Otak bertanggung jawab atas fungsi pengenalan, emosi, ingatan, dan segala bentuk pembelajaran. Otak juga mengatur sebagian besar gerakan, perilaku, dan fungsi tubuh homeostasis seperti detak jantung, tekanan darah, keseimbangan cairan tubuh dan suhu tubuh. Secara umum, otak terbagi atas tiga bagian, yaitu otak besar (cerebrum), otak kecil (cerebellum), dan batang otak (brain stem).
Masing-masing bagian otak memiliki fungsi yang berbeda. Otak besar (cerebrum) memiliki fungsi yang sangat penting dalam pengaturan semua aktivitas tubuh, khususnya yang berkaitan dengan kepandaian (inteligensi), ingatan (memori), kesadaran, dan pertimbangan. Otak kecil (cerebellum) berfungsi untuk mengatur sikap atau posisi tubuh, keseimbangan, dan koordinasi gerakan otot yang terjadi secara sadar.
Sedangkan batang otak (brain stem), mengendalikan fungsi-fungsi kehidupan dasar misalnya pernapasan dan laju denyut jantung, mengontrol tingkat kesiagaan, mengendalikan suhu tubuh, mengendalikan proses pencernaan, dan menyampaikan informasi dari otak kecil (cerebellum). Seperti bagian tubuh yang lain, otak juga bisa terkena tumor atau kanker. Tumor di dalam otak dapat berkembang menjadi kanker. Gejala tumor atau kanker otak sangat variatif, tergantung di mana tumor atau kanker itu bersarang dalam otak.
Gejala-Gejala Kanker Otak
Berikut adalah gejala-gejala yang umum yang timbul pada penderita kanker otak.
1. Sakit kepala (menetap di daerah tertentu) disertai mual sampai muntah yang menyemprot.
2. Daya penglihatan berkurang.
3. Penurunan kesadaran.
4. Gangguan berbicara.
5. Gangguan pendengaran.
6. Gangguan berjalan/keseimbangan tubuh (bila tumor atau kanker terdapat di otak kecil).
7. Gangguan saraf.
8. Anggota gerak melemah atau kejang.
9. Jika terdapat di daerah frontal atau bagian depan otak, di mana banyak terdapat fungsi intelektual dan perasaan, maka bisa mengalami gangguan dalam fungsi intelektual termasuk daya ingat.
Jangan menunda untuk mengambil langkah-langkah penting apabila gejala-gejala yang disebutkan di atas sudah terlihat. Semakin cepat diobati semakin besar harapan untuk sembuh.
Pilihan Pengobatan Kanker Otak
Ada 2 metode pengobatan kanker otak yang dapat di jalani, yaitu pengobatan kanker otak secara medis dan pengobatan kanker otak alternatif. Pengobatan kanker otak secara medis dilakukan melalui radiasi (penyinaran), kemoterapi, dan pembedahan untuk mengangkat jaringan yang terkena kanker. Pengobatan kanker secara medis bertujuan merusak dan membunuh sel kanker. Sedangkan pengobatan kanker alternatif ditekankan pada kemampuan tubuh untuk melawan sel-sel kanker.
Ada berbagai alternatif pengobatan kanker otak, namun pengobatan kanker otak alternatif yang kini banyak diminati adalah dengan menggunakan herbal, karena biayanya yang terjangkau dan terbukti efektif serta tanpa efek samping. Alam menyediakan banyak tumbuhan yang dapat digunakan sebagai herbal antikanker, misalnya, Sarang Semut (Myrmecodia pendans) yang terbukti ampuh mengatasi tumor dan kanker, termasuk kanker otak. Hasil penelitian ilmiah dari Pusat Bioteknologi LIPI, mengungkapkan bahwa Sarang Semut mengandung senyawa-senyawa aktif yang telah dikenal dalam dunia medis untuk pengobatan berbagai penyakit, termasuk kanker.
Dr. M. Ahkam Subroto, Ahli Peneliti Utama LIPI, mengungkapkan bahwa senyawa aktif yang terkandung dalam Sarang Semut itu adalah flavonoid, tanin, dan polifenol yang berfungsi sebagai antioksidan dalam tubuh. Antioksidan berperan penting untuk menangkal radikal bebas penyebab kanker sehingga sangat baik untuk mencegah dan mengobati kanker.
Selain itu, Sarang Semut juga mengandung tokoferol. Tokoferol mirip vitamin E yang berefek antioksidan efektif. Menurut Prof Dr Elin Yulinah Sukandar, Guru Besar Farmasi ITB, kandungan tokoferol dari Sarang Semut cukup tinggi. Tokoferol berfungsi sebagai antioksidan dan antikanker, zat ini menangkal serangan radikal bebas dengan cara antidegeneratif.
Dalam uji in vitro yang dilakukan Qui Kim Tran dari University National of Hochiminch City bersama koleganya, terbukti bahwa Sarang Semut ampuh sebagai obat kanker. Dalam penelitiannya Qui Kim Tran menggunakan Sarang Semut yang berbobot 2-3 kg, kemudian diekstrak dengan berbagai pelarut seperti air, methanol, dan campuran methanol-air. Mereka lalu menumbuhkan 3 jenis sel kanker yang amat metastasis alias mudah menyebar ke bagian tubuh lain.
Masing-masing hasil ekstraksi itu lalu diberikan kepada setiap sel kanker dan ternyata hasilnya sungguh menakjubkan! Sarang Semut diketahui mempunyai aktivitas antiproliferasi yang kuat!! Yang dapat berarti menghambat penyebaran sel-sel kanker yang sangat cepat dan abnormal.
Sebagai obat kanker alami, Sarang Semut telah membantu banyak penderita kanker. Umumnya, para pasien kanker pengguna sarang semut, sudah dapat merasakan hasilnya setelah 1-2 bulan penggunaan dan sejauh ini, belum ditemukan efek samping yang buruk atas penggunaan Sarang Semut dalam pengobatan kanker otak. Maka, Anda dapat dengan yakin menggunakan Sarang Semut sebagai obat kanker otak alami yang ampuh.
Kelas : 1PA04
NPM : 15510831
Otak adalah pusat pengendalian pikiran dan seluruh tubuh. Otak bertanggung jawab atas fungsi pengenalan, emosi, ingatan, dan segala bentuk pembelajaran. Otak juga mengatur sebagian besar gerakan, perilaku, dan fungsi tubuh homeostasis seperti detak jantung, tekanan darah, keseimbangan cairan tubuh dan suhu tubuh. Secara umum, otak terbagi atas tiga bagian, yaitu otak besar (cerebrum), otak kecil (cerebellum), dan batang otak (brain stem).
Masing-masing bagian otak memiliki fungsi yang berbeda. Otak besar (cerebrum) memiliki fungsi yang sangat penting dalam pengaturan semua aktivitas tubuh, khususnya yang berkaitan dengan kepandaian (inteligensi), ingatan (memori), kesadaran, dan pertimbangan. Otak kecil (cerebellum) berfungsi untuk mengatur sikap atau posisi tubuh, keseimbangan, dan koordinasi gerakan otot yang terjadi secara sadar.
Sedangkan batang otak (brain stem), mengendalikan fungsi-fungsi kehidupan dasar misalnya pernapasan dan laju denyut jantung, mengontrol tingkat kesiagaan, mengendalikan suhu tubuh, mengendalikan proses pencernaan, dan menyampaikan informasi dari otak kecil (cerebellum). Seperti bagian tubuh yang lain, otak juga bisa terkena tumor atau kanker. Tumor di dalam otak dapat berkembang menjadi kanker. Gejala tumor atau kanker otak sangat variatif, tergantung di mana tumor atau kanker itu bersarang dalam otak.
Gejala-Gejala Kanker Otak
Berikut adalah gejala-gejala yang umum yang timbul pada penderita kanker otak.
1. Sakit kepala (menetap di daerah tertentu) disertai mual sampai muntah yang menyemprot.
2. Daya penglihatan berkurang.
3. Penurunan kesadaran.
4. Gangguan berbicara.
5. Gangguan pendengaran.
6. Gangguan berjalan/keseimbangan tubuh (bila tumor atau kanker terdapat di otak kecil).
7. Gangguan saraf.
8. Anggota gerak melemah atau kejang.
9. Jika terdapat di daerah frontal atau bagian depan otak, di mana banyak terdapat fungsi intelektual dan perasaan, maka bisa mengalami gangguan dalam fungsi intelektual termasuk daya ingat.
Jangan menunda untuk mengambil langkah-langkah penting apabila gejala-gejala yang disebutkan di atas sudah terlihat. Semakin cepat diobati semakin besar harapan untuk sembuh.
Pilihan Pengobatan Kanker Otak
Ada 2 metode pengobatan kanker otak yang dapat di jalani, yaitu pengobatan kanker otak secara medis dan pengobatan kanker otak alternatif. Pengobatan kanker otak secara medis dilakukan melalui radiasi (penyinaran), kemoterapi, dan pembedahan untuk mengangkat jaringan yang terkena kanker. Pengobatan kanker secara medis bertujuan merusak dan membunuh sel kanker. Sedangkan pengobatan kanker alternatif ditekankan pada kemampuan tubuh untuk melawan sel-sel kanker.
Ada berbagai alternatif pengobatan kanker otak, namun pengobatan kanker otak alternatif yang kini banyak diminati adalah dengan menggunakan herbal, karena biayanya yang terjangkau dan terbukti efektif serta tanpa efek samping. Alam menyediakan banyak tumbuhan yang dapat digunakan sebagai herbal antikanker, misalnya, Sarang Semut (Myrmecodia pendans) yang terbukti ampuh mengatasi tumor dan kanker, termasuk kanker otak. Hasil penelitian ilmiah dari Pusat Bioteknologi LIPI, mengungkapkan bahwa Sarang Semut mengandung senyawa-senyawa aktif yang telah dikenal dalam dunia medis untuk pengobatan berbagai penyakit, termasuk kanker.
Dr. M. Ahkam Subroto, Ahli Peneliti Utama LIPI, mengungkapkan bahwa senyawa aktif yang terkandung dalam Sarang Semut itu adalah flavonoid, tanin, dan polifenol yang berfungsi sebagai antioksidan dalam tubuh. Antioksidan berperan penting untuk menangkal radikal bebas penyebab kanker sehingga sangat baik untuk mencegah dan mengobati kanker.
Selain itu, Sarang Semut juga mengandung tokoferol. Tokoferol mirip vitamin E yang berefek antioksidan efektif. Menurut Prof Dr Elin Yulinah Sukandar, Guru Besar Farmasi ITB, kandungan tokoferol dari Sarang Semut cukup tinggi. Tokoferol berfungsi sebagai antioksidan dan antikanker, zat ini menangkal serangan radikal bebas dengan cara antidegeneratif.
Dalam uji in vitro yang dilakukan Qui Kim Tran dari University National of Hochiminch City bersama koleganya, terbukti bahwa Sarang Semut ampuh sebagai obat kanker. Dalam penelitiannya Qui Kim Tran menggunakan Sarang Semut yang berbobot 2-3 kg, kemudian diekstrak dengan berbagai pelarut seperti air, methanol, dan campuran methanol-air. Mereka lalu menumbuhkan 3 jenis sel kanker yang amat metastasis alias mudah menyebar ke bagian tubuh lain.
Masing-masing hasil ekstraksi itu lalu diberikan kepada setiap sel kanker dan ternyata hasilnya sungguh menakjubkan! Sarang Semut diketahui mempunyai aktivitas antiproliferasi yang kuat!! Yang dapat berarti menghambat penyebaran sel-sel kanker yang sangat cepat dan abnormal.
Sebagai obat kanker alami, Sarang Semut telah membantu banyak penderita kanker. Umumnya, para pasien kanker pengguna sarang semut, sudah dapat merasakan hasilnya setelah 1-2 bulan penggunaan dan sejauh ini, belum ditemukan efek samping yang buruk atas penggunaan Sarang Semut dalam pengobatan kanker otak. Maka, Anda dapat dengan yakin menggunakan Sarang Semut sebagai obat kanker otak alami yang ampuh.
Persamaan Linear & Matriks
Nama : Rezki Apriyani
Npm : 15510831
Kelas : 1PA04
TUGAS IAD DAN MATEMATIKA DASAR
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\\ 1 & -5 & 2 & 7\\ 2 & 1 & -3 & 9\\ \end{bmatrix}
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & -8 & 8\\ \end{bmatrix}
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6\\ \end{bmatrix}
Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 5\\ \end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 2 & 1 & 2 & 5\\ \end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & -3 & -4 & -1\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & 0 & 8 & 8\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1
Contoh 1:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)
Contoh 2:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ \end{bmatrix}
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix}
Contoh 4:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ \end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1
Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 1\\ -1 & 3 & 3\\ 5 & 4 & 8\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi AT = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5\\ -5 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 8\\ \end{bmatrix}
Matriks
B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7\\ 9 & 5 & 7 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 3\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi BT = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 4\\ 3 & 5 & 1\\ 5 & 7 & 5\\ 7 & 4 & 3\\ \end{bmatrix}
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -5\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
\begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n\\ \end{bmatrix}
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D − 1=\begin{bmatrix} 1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\ \end{bmatrix}
DD − 1 = D − 1D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
Dk=\begin{bmatrix} d_1^k & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2^k & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n^k\\ \end{bmatrix}
Contoh :
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{bmatrix}
maka
A5=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -243 & 0\\ 0 & 0 & 32\\ \end{bmatrix}
Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44}\\ \end{bmatrix}
Matriks segitiga bawah
\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{bmatrix}
Teorema
* Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
* Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
* Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
* Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 5\\ \end{bmatrix}
Inversnya adalah
A − 1=\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & 7/5\\ 0 & 1/2 & -2/5\\ 0 & 0 & 1/5\\ \end{bmatrix}
Matriks yang tidak bisa di invers
B =\begin{bmatrix} 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -3 & 5 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 4 & -3 & 0\\ 5 & 0 & 7\\ \end{bmatrix}
Teorema
* Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT = BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
(A − 1)T = (AT) − 1 = A − 1
Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.
Produk AAT dan ATA
(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix}
lalu
ATA = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0\\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -2 & 11\\ -2 & 4 & -8\\ -11 & -8 & 41\\ \end{bmatrix}
AAT = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0\\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & -17 \\ -17 & 34\\ \end{bmatrix}
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse
[sunting] Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix} +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ \end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{bmatrix} = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}
Determinan Matriks Segitiga Atas
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
Contoh
\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
[sunting] Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}
Tes Determinan untuk Invertibilitas
Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
A = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1\\ 1 & 6 & 3\\ 2 & -4 & 0\\ \end{bmatrix}
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
\begin{bmatrix} 12 & 6 & -16\\ 4 & 2 & 16\\ 12 & -10 & 16\\ \end{bmatrix}
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
adj(A) = \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}
[sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
Ax = λx ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
(λI - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear
x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat diubah
A =\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}dan x =\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
λ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
sehingga didapat bentuk
λ I - A = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
det (λ I - A) = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} = 0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x = \begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}
Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
v – u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam Rn
jika \mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n} , \mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n} , dan \mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n} adalah vektor dalam Rn sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} didefinisikan sebagai
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}
[sunting] Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
* Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rn dalam setiap y1,y2,....,yn adalah nilai yang terukur.
* Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x1,x2,...,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
* Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.
* Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
* Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.
* Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx1,x2,...,x6 dan kecepatan mereka adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
* Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn
jika u = (u1,u2,u3,...,un)
Maka Panjang vektor u
|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2}
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2}
Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}
[sunting] Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm + am-1xm − 1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
\begin{matrix} {y_0}& = &a_mx_0^m &+& a_{m-1}x_0^{m-1} &+...+& a_1x_0 &+& a_0\\ {y_1}& = &a_mx_1^m &+& a_{m-1}x_1^{m-1} &+...+& a_1x_1 &+& a_0\\ \vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots\\ {y_n}& = &a_mx_n^m &+& a_{m-1}x_n^{m-1} &+...+& a_1x_n &+& a_0\\ \end{matrix}
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^m\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{m-1}\\ a_m\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\ \end{bmatrix}
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1}\\ a_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\ \end{bmatrix} (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3\\ 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3\\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3\\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ y_2\\ y_3\\ \end{bmatrix}
Untuk data di atas, kita mempunyai
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 6\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 4 & 8 & 6\\ \end{bmatrix}
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 3 & 9 & 6\\ \end{bmatrix} Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix} Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix} Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ \end{bmatrix} Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke-4 dibagi dengan 2
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
\begin{matrix} a_0&+&a_1&+&a_2&+&a_3 &=&0\Longleftrightarrow a_0 = 0\\ & &a_1&-&a_2&+&a_3&=&0\Longleftrightarrow a_1 = -1\\ & & & &a_2& & &=&0\\ & & & & & &a_3&=&1\\ \end{matrix}
Jadi, interpolasinya adalah p(x) = x^3 - x\,
Npm : 15510831
Kelas : 1PA04
TUGAS IAD DAN MATEMATIKA DASAR
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\\ 1 & -5 & 2 & 7\\ 2 & 1 & -3 & 9\\ \end{bmatrix}
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & -8 & 8\\ \end{bmatrix}
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6\\ \end{bmatrix}
Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 5\\ \end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 2 & 1 & 2 & 5\\ \end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & -3 & -4 & -1\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & 0 & 8 & 8\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1
Contoh 1:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)
Contoh 2:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ \end{bmatrix}
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix}
Contoh 4:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ \end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1
Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 1\\ -1 & 3 & 3\\ 5 & 4 & 8\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi AT = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5\\ -5 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 8\\ \end{bmatrix}
Matriks
B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7\\ 9 & 5 & 7 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 3\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi BT = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 4\\ 3 & 5 & 1\\ 5 & 7 & 5\\ 7 & 4 & 3\\ \end{bmatrix}
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -5\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
\begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n\\ \end{bmatrix}
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D − 1=\begin{bmatrix} 1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\ \end{bmatrix}
DD − 1 = D − 1D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
Dk=\begin{bmatrix} d_1^k & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2^k & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n^k\\ \end{bmatrix}
Contoh :
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{bmatrix}
maka
A5=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -243 & 0\\ 0 & 0 & 32\\ \end{bmatrix}
Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\ 0 & 0 & 0 & a_{44}\\ \end{bmatrix}
Matriks segitiga bawah
\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{bmatrix}
Teorema
* Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
* Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
* Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
* Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 5\\ \end{bmatrix}
Inversnya adalah
A − 1=\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & 7/5\\ 0 & 1/2 & -2/5\\ 0 & 0 & 1/5\\ \end{bmatrix}
Matriks yang tidak bisa di invers
B =\begin{bmatrix} 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -3 & 5 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 4 & -3 & 0\\ 5 & 0 & 7\\ \end{bmatrix}
Teorema
* Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT = BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
(A − 1)T = (AT) − 1 = A − 1
Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.
Produk AAT dan ATA
(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix}
lalu
ATA = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0\\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -2 & 11\\ -2 & 4 & -8\\ -11 & -8 & 41\\ \end{bmatrix}
AAT = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0\\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & -17 \\ -17 & 34\\ \end{bmatrix}
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse
[sunting] Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix} +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ \end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{bmatrix} = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}
Determinan Matriks Segitiga Atas
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
Contoh
\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
[sunting] Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}
Tes Determinan untuk Invertibilitas
Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
A = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1\\ 1 & 6 & 3\\ 2 & -4 & 0\\ \end{bmatrix}
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
\begin{bmatrix} 12 & 6 & -16\\ 4 & 2 & 16\\ 12 & -10 & 16\\ \end{bmatrix}
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
adj(A) = \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}
[sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
Ax = λx ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
(λI - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear
x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat diubah
A =\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}dan x =\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
λ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
sehingga didapat bentuk
λ I - A = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
det (λ I - A) = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} = 0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x = \begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}
Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
v – u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam Rn
jika \mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n} , \mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n} , dan \mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n} adalah vektor dalam Rn sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} didefinisikan sebagai
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}
[sunting] Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
* Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rn dalam setiap y1,y2,....,yn adalah nilai yang terukur.
* Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x1,x2,...,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
* Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.
* Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
* Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.
* Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx1,x2,...,x6 dan kecepatan mereka adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
* Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn
jika u = (u1,u2,u3,...,un)
Maka Panjang vektor u
|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2}
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2}
Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}
[sunting] Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm + am-1xm − 1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
\begin{matrix} {y_0}& = &a_mx_0^m &+& a_{m-1}x_0^{m-1} &+...+& a_1x_0 &+& a_0\\ {y_1}& = &a_mx_1^m &+& a_{m-1}x_1^{m-1} &+...+& a_1x_1 &+& a_0\\ \vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots\\ {y_n}& = &a_mx_n^m &+& a_{m-1}x_n^{m-1} &+...+& a_1x_n &+& a_0\\ \end{matrix}
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^m\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{m-1}\\ a_m\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\ \end{bmatrix}
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1}\\ a_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\ \end{bmatrix} (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3\\ 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3\\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3\\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ y_2\\ y_3\\ \end{bmatrix}
Untuk data di atas, kita mempunyai
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 6\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 4 & 8 & 6\\ \end{bmatrix}
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 3 & 9 & 6\\ \end{bmatrix} Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix} Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix} Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ \end{bmatrix} Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke-4 dibagi dengan 2
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
\begin{matrix} a_0&+&a_1&+&a_2&+&a_3 &=&0\Longleftrightarrow a_0 = 0\\ & &a_1&-&a_2&+&a_3&=&0\Longleftrightarrow a_1 = -1\\ & & & &a_2& & &=&0\\ & & & & & &a_3&=&1\\ \end{matrix}
Jadi, interpolasinya adalah p(x) = x^3 - x\,
Pencemaran lingkungan
Nama : Rezki Apriyani
Npm : 15510831
Kelas : 1PA04
TUGAS IAD DAN MATEMATIKA DASAR
Polusi atau pencemaran lingkungan adalah masuknya atau dimasukkannya makhluk hidup, zat energi, dan atau komponen lain ke dalam lingkungan, atau berubahnya tatanan lingkungan oleh kegiatan manusia atau oleh proses alam sehingga kualitas lingkungan turun sampai ke tingkat tertentu yang menyebabkan lingkungan menjadi kurang atau tidak dapat berfungsi lagi sesuai dengan peruntukannya (Undang-undang Pokok Pengelolaan Lingkungan Hidup No. 4 Tahun 1982).
Zat atau bahan yang dapat mengakibatkan pencemaran disebut polutan. Syarat-syarat suatu zat disebut polutan bila keberadaannya dapat menyebabkan kerugian terhadap makhluk hidup. Contohnya, karbon dioksida dengan kadar 0,033% di udara berfaedah bagi tumbuhan, tetapi bila lebih tinggi dari 0,033% dapat rnemberikan efek merusak.
Suatu zat dapat disebut polutan apabila:
1. jumlahnya melebihi jumlah normal
2. berada pada waktu yang tidak tepat
3. berada pada tempat yang tidak tepat
Sifat polutan adalah:
1. merusak untuk sementara, tetapi bila telah bereaksi dengan zat
lingkungan tidak merusak lagi
2. merusak dalam jangka waktu lama.
Contohnya Pb tidak merusak bila konsentrasinya rendah. Akan tetapi
dalam jangka waktu yang lama, Pb dapat terakumulasi dalam tubuh
sampai tingkat yang merusak.
Macam-macam Pencemaran
Macam-macam pencemaran dapat dibedakan berdasarkan pada tempat terjadinya, macam bahan pencemarnya, dan tingkat pencemaran.
a. Menurut tempat terjadinya
Menurut tempat terjadinya, pencemaran dapat digolongkan menjadi tiga, yaitu pencemaran udara, air, dan tanah.
1. Pencemaran udara
Pencemar udara dapat berupa gas dan partikel. Contohnya sebagai berikut.
a. Gas HzS. Gas ini bersifat racun, terdapat di kawasan gunung berapi,
bisa juga dihasilkan dari pembakaran minyak bumi dan batu bara.
b. Gas CO dan COz. Karbon monoksida (CO) tidak berwarna dan tidak
berbau, bersifat racun, merupakan hash pembakaran yang tidak
sempurna dari bahan buangan mobil dan mesin letup. Gas COZ dalam
udara murni berjumlah 0,03%. Bila melebihi toleransi dapat meng-
ganggu pernapasan. Selain itu, gas C02 yang terlalu berlebihan di
bumi dapat mengikat panas matahari sehingga suhu bumi panas.
Pemanasan global di bumi akibat C02 disebut juga sebagai efek rumah
kaca.
c. Partikel SOZ dan NO2. Kedua partikel ini bersama dengan partikel cair
membentuk embun, membentuk awan dekat tanah yang dapat
mengganggu pernapasan. Partikel padat, misalnya bakteri, jamur,
virus, bulu, dan tepung sari juga dapat mengganggu kesehatan.
d. Batu bara yang mengandung sulfur melalui pembakaran akan meng-
hasilkan sulfur dioksida. Sulfur dioksida ber$ama dengan udara serta
oksigen dan sinar matahari dapat menghasilkan asam sulfur. Asam ini
membentuk kabut dan suatu saat akan jatuh sebagai hujan yang
disebut hujan asam. Hujan asam dapat menyebabkan gangguan pada
manusia, hewan, maupun tumbuhan. Misalnya gangguan pernapasan,
perubahan morfologi pada daun, batang, dan benih.
Sumber polusi udara lain dapat berasal dari radiasi bahan radioaktif, misalnya, nuklir. Setelah peledakan nuklir, materi radioaktif masuk ke dalam atmosfer dan jatuh di bumi. materi radioaktif ini akan terakumulusi di tanah, air, hewan, tumbuhan, dan juga pada manusia. Efek pencemaran nuklir terhadap makhluk hidup, dalam taraf tertentu, dapat menyebabkan mutasi, berbagai penyakit akibat kelainan gen, dan bahkan kematian.
Pencemaran udara dinyatakan dengan ppm (part per million) yang artinya jumlah cm3 polutan per m3 udara.
2. Pencemaran air
Polusi air dapat disebabkan oleh beberapa jenis pencemar sebagai berikut.
a. Pembuangan limbah industri, sisa insektisida, dan pembuangan
sampah domestik, misalnya, sisa detergen mencemari air. Buangan
industri seperti Pb, Hg, Zn, dan CO, dapat terakumulasi dan bersifat
racun.
b. Sampah organik yang dibusukkan oleh bakteri menyebabkan 02 di air
berkurang sehingga mengganggu aktivitas kehidupan organisme air.
c. Fosfat hasil pembusukan bersama h03 dan pupuk pertanian
terakumulasi dan menyebabkan eutrofikasi, yaitu penimbunan mineral
yang menyebabkan pertumbuhan yang cepat pada alga (Blooming
alga). Akibatnya, tanaman di dalam air tidak dapat berfotosintesis
karena sinar matahari terhalang.
Salah satu bahan pencemar di laut ada lah tumpahan minyak bumi, akibat kecelakaan kapal tanker minyak yang sering terjadi. Banyak organisme akuatik yang mati atau keracunan karenanya. (Untuk membersihkan kawasan tercemar diperlukan koordinasi dari berbagai pihak dan dibutuhkan biaya yang mahal. Bila terlambat penanggulangan-nya, kerugian manusia semakin banyak. Secara ekologis, dapat mengganggu ekosistem laut.
Bila terjadi pencemaran di air, maka terjadi akumulasi zat pencemar pada tubuh organisme air. Akumulasi pencemar ini semakin meningkat pada organisme pemangsa yang lebih besar.
3. Pencemaran tanah
Pencemaran tanah disebabkan oleh beberapa jenis pencemaran berikut ini :
a. sampah-sampah pla.stik yang sukar hancur, botol, karet sintesis,
pecahan kaca, dan kaleng
b. detergen yang bersifat non bio degradable (secara alami sulit
diuraikan)
c. zat kimia dari buangan pertanian, misalnya insektisida.
4. Polusi suara
Polusi suara disebabkan oleh suara bising kendaraan bermotor, kapal terbang, deru mesin pabrik, radio/tape recorder yang berbunyi keras sehingga mengganggu pendengaran.
b. Menurut macam bahan pencemar
Macam bahan pencemar adalah sebagai berikut.
1. Kimiawi; berupa zat radio aktif, logam (Hg, Pb, As, Cd, Cr dan Hi),
pupuk anorganik, pestisida, detergen dan minyak.
2. Biologi; berupa mikroorganisme, misalnya Escherichia coli, Entamoeba
coli, dan Salmonella thyposa.
3. Fisik; berupa kaleng-kaleng, botol, plastik, dan karet.
c. Menurut tingkat pencemaran
Menurut WHO, tingkat pencemaran didasarkan pada kadar zat pencemar dan waktu (lamanya) kontak. Tingkat pencemaran dibedakan menjadi 3, yaitu sebagai berikut :
1. Pencemaran yang mulai mengakibatkan iritasi (gangguan) ringan pada
panca indra dan tubuh serta telah menimbulkan kerusakan pada
ekosistem lain. Misalnya gas buangan kendaraan bermotor yang
menyebabkan mata pedih.
2. Pencemaran yang sudah mengakibatkan reaksi pada faal tubuh dan
menyebabkan sakit yang kronis. Misalnya pencemaran Hg (air raksa)
di Minamata Jepang yang menyebabkan kanker dan lahirnya bayi
cacat.
3. Pencemaran yang kadar zat-zat pencemarnya demikian besarnya
sehingga menimbulkan gangguan dan sakit atau kematian dalam
lingkungan. Misalnya pencemaran nuklir.
2. Parameter Pencemaran
Dengan mengetahui beberapa parameter yang ads pads daerah/kawasan penelitian akan dapat diketahui tingkat pencemaran atau apakah lingkungan itu sudah terkena pencemaran atau belum. Paramaterparameter yang merupakan indikator terjadinya pencemaran adalah sebagai berikut :
a. Parameter kimia
Parameter kimia meliputi C02, pH, alkalinitas, fosfor, dan logam-logam
berat.
b. Parameter biokimia
Parameter biokimia meliputi BOD (Biochemical Oxygen Demand), yaitu
jumlah oksigen dalam air. Cars pengukurannya adalah dengan
menyimpan sampel air yang telah diketahui kandungan oksigennya
selama 5 hari. Kemudian kadar oksigennya diukur lagi. BOD digunakan
untuk mengukur banyaknya pencemar organik.
Menurut menteri kesehatan, kandungan oksigen dalam air minum atau BOD tidak boleh kurang dari 3 ppm.
c. Parameter fisik
Parameter fisik meliputi temperatur, warna, rasa, bau, kekeruhan, dan radioaktivitas.
d. Parameter biologi
Parameter biologi meliputi ada atau tidaknya mikroorganisme, misalnya, bakteri coli, virus, bentos, dan plankton.
Npm : 15510831
Kelas : 1PA04
TUGAS IAD DAN MATEMATIKA DASAR
Polusi atau pencemaran lingkungan adalah masuknya atau dimasukkannya makhluk hidup, zat energi, dan atau komponen lain ke dalam lingkungan, atau berubahnya tatanan lingkungan oleh kegiatan manusia atau oleh proses alam sehingga kualitas lingkungan turun sampai ke tingkat tertentu yang menyebabkan lingkungan menjadi kurang atau tidak dapat berfungsi lagi sesuai dengan peruntukannya (Undang-undang Pokok Pengelolaan Lingkungan Hidup No. 4 Tahun 1982).
Zat atau bahan yang dapat mengakibatkan pencemaran disebut polutan. Syarat-syarat suatu zat disebut polutan bila keberadaannya dapat menyebabkan kerugian terhadap makhluk hidup. Contohnya, karbon dioksida dengan kadar 0,033% di udara berfaedah bagi tumbuhan, tetapi bila lebih tinggi dari 0,033% dapat rnemberikan efek merusak.
Suatu zat dapat disebut polutan apabila:
1. jumlahnya melebihi jumlah normal
2. berada pada waktu yang tidak tepat
3. berada pada tempat yang tidak tepat
Sifat polutan adalah:
1. merusak untuk sementara, tetapi bila telah bereaksi dengan zat
lingkungan tidak merusak lagi
2. merusak dalam jangka waktu lama.
Contohnya Pb tidak merusak bila konsentrasinya rendah. Akan tetapi
dalam jangka waktu yang lama, Pb dapat terakumulasi dalam tubuh
sampai tingkat yang merusak.
Macam-macam Pencemaran
Macam-macam pencemaran dapat dibedakan berdasarkan pada tempat terjadinya, macam bahan pencemarnya, dan tingkat pencemaran.
a. Menurut tempat terjadinya
Menurut tempat terjadinya, pencemaran dapat digolongkan menjadi tiga, yaitu pencemaran udara, air, dan tanah.
1. Pencemaran udara
Pencemar udara dapat berupa gas dan partikel. Contohnya sebagai berikut.
a. Gas HzS. Gas ini bersifat racun, terdapat di kawasan gunung berapi,
bisa juga dihasilkan dari pembakaran minyak bumi dan batu bara.
b. Gas CO dan COz. Karbon monoksida (CO) tidak berwarna dan tidak
berbau, bersifat racun, merupakan hash pembakaran yang tidak
sempurna dari bahan buangan mobil dan mesin letup. Gas COZ dalam
udara murni berjumlah 0,03%. Bila melebihi toleransi dapat meng-
ganggu pernapasan. Selain itu, gas C02 yang terlalu berlebihan di
bumi dapat mengikat panas matahari sehingga suhu bumi panas.
Pemanasan global di bumi akibat C02 disebut juga sebagai efek rumah
kaca.
c. Partikel SOZ dan NO2. Kedua partikel ini bersama dengan partikel cair
membentuk embun, membentuk awan dekat tanah yang dapat
mengganggu pernapasan. Partikel padat, misalnya bakteri, jamur,
virus, bulu, dan tepung sari juga dapat mengganggu kesehatan.
d. Batu bara yang mengandung sulfur melalui pembakaran akan meng-
hasilkan sulfur dioksida. Sulfur dioksida ber$ama dengan udara serta
oksigen dan sinar matahari dapat menghasilkan asam sulfur. Asam ini
membentuk kabut dan suatu saat akan jatuh sebagai hujan yang
disebut hujan asam. Hujan asam dapat menyebabkan gangguan pada
manusia, hewan, maupun tumbuhan. Misalnya gangguan pernapasan,
perubahan morfologi pada daun, batang, dan benih.
Sumber polusi udara lain dapat berasal dari radiasi bahan radioaktif, misalnya, nuklir. Setelah peledakan nuklir, materi radioaktif masuk ke dalam atmosfer dan jatuh di bumi. materi radioaktif ini akan terakumulusi di tanah, air, hewan, tumbuhan, dan juga pada manusia. Efek pencemaran nuklir terhadap makhluk hidup, dalam taraf tertentu, dapat menyebabkan mutasi, berbagai penyakit akibat kelainan gen, dan bahkan kematian.
Pencemaran udara dinyatakan dengan ppm (part per million) yang artinya jumlah cm3 polutan per m3 udara.
2. Pencemaran air
Polusi air dapat disebabkan oleh beberapa jenis pencemar sebagai berikut.
a. Pembuangan limbah industri, sisa insektisida, dan pembuangan
sampah domestik, misalnya, sisa detergen mencemari air. Buangan
industri seperti Pb, Hg, Zn, dan CO, dapat terakumulasi dan bersifat
racun.
b. Sampah organik yang dibusukkan oleh bakteri menyebabkan 02 di air
berkurang sehingga mengganggu aktivitas kehidupan organisme air.
c. Fosfat hasil pembusukan bersama h03 dan pupuk pertanian
terakumulasi dan menyebabkan eutrofikasi, yaitu penimbunan mineral
yang menyebabkan pertumbuhan yang cepat pada alga (Blooming
alga). Akibatnya, tanaman di dalam air tidak dapat berfotosintesis
karena sinar matahari terhalang.
Salah satu bahan pencemar di laut ada lah tumpahan minyak bumi, akibat kecelakaan kapal tanker minyak yang sering terjadi. Banyak organisme akuatik yang mati atau keracunan karenanya. (Untuk membersihkan kawasan tercemar diperlukan koordinasi dari berbagai pihak dan dibutuhkan biaya yang mahal. Bila terlambat penanggulangan-nya, kerugian manusia semakin banyak. Secara ekologis, dapat mengganggu ekosistem laut.
Bila terjadi pencemaran di air, maka terjadi akumulasi zat pencemar pada tubuh organisme air. Akumulasi pencemar ini semakin meningkat pada organisme pemangsa yang lebih besar.
3. Pencemaran tanah
Pencemaran tanah disebabkan oleh beberapa jenis pencemaran berikut ini :
a. sampah-sampah pla.stik yang sukar hancur, botol, karet sintesis,
pecahan kaca, dan kaleng
b. detergen yang bersifat non bio degradable (secara alami sulit
diuraikan)
c. zat kimia dari buangan pertanian, misalnya insektisida.
4. Polusi suara
Polusi suara disebabkan oleh suara bising kendaraan bermotor, kapal terbang, deru mesin pabrik, radio/tape recorder yang berbunyi keras sehingga mengganggu pendengaran.
b. Menurut macam bahan pencemar
Macam bahan pencemar adalah sebagai berikut.
1. Kimiawi; berupa zat radio aktif, logam (Hg, Pb, As, Cd, Cr dan Hi),
pupuk anorganik, pestisida, detergen dan minyak.
2. Biologi; berupa mikroorganisme, misalnya Escherichia coli, Entamoeba
coli, dan Salmonella thyposa.
3. Fisik; berupa kaleng-kaleng, botol, plastik, dan karet.
c. Menurut tingkat pencemaran
Menurut WHO, tingkat pencemaran didasarkan pada kadar zat pencemar dan waktu (lamanya) kontak. Tingkat pencemaran dibedakan menjadi 3, yaitu sebagai berikut :
1. Pencemaran yang mulai mengakibatkan iritasi (gangguan) ringan pada
panca indra dan tubuh serta telah menimbulkan kerusakan pada
ekosistem lain. Misalnya gas buangan kendaraan bermotor yang
menyebabkan mata pedih.
2. Pencemaran yang sudah mengakibatkan reaksi pada faal tubuh dan
menyebabkan sakit yang kronis. Misalnya pencemaran Hg (air raksa)
di Minamata Jepang yang menyebabkan kanker dan lahirnya bayi
cacat.
3. Pencemaran yang kadar zat-zat pencemarnya demikian besarnya
sehingga menimbulkan gangguan dan sakit atau kematian dalam
lingkungan. Misalnya pencemaran nuklir.
2. Parameter Pencemaran
Dengan mengetahui beberapa parameter yang ads pads daerah/kawasan penelitian akan dapat diketahui tingkat pencemaran atau apakah lingkungan itu sudah terkena pencemaran atau belum. Paramaterparameter yang merupakan indikator terjadinya pencemaran adalah sebagai berikut :
a. Parameter kimia
Parameter kimia meliputi C02, pH, alkalinitas, fosfor, dan logam-logam
berat.
b. Parameter biokimia
Parameter biokimia meliputi BOD (Biochemical Oxygen Demand), yaitu
jumlah oksigen dalam air. Cars pengukurannya adalah dengan
menyimpan sampel air yang telah diketahui kandungan oksigennya
selama 5 hari. Kemudian kadar oksigennya diukur lagi. BOD digunakan
untuk mengukur banyaknya pencemar organik.
Menurut menteri kesehatan, kandungan oksigen dalam air minum atau BOD tidak boleh kurang dari 3 ppm.
c. Parameter fisik
Parameter fisik meliputi temperatur, warna, rasa, bau, kekeruhan, dan radioaktivitas.
d. Parameter biologi
Parameter biologi meliputi ada atau tidaknya mikroorganisme, misalnya, bakteri coli, virus, bentos, dan plankton.
Langganan:
Postingan (Atom)